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Circuito RLC

Circuito RLC serie risonante in corrente

Il circuito RLC è un ottimo filtro passa banda risonante in corrente, ed è molto più selettivo del passa banda RC-CR, come somma di un passa basso e di un passa alto.

Nel caso di un circuito RLC serie si ha una impedenza totale

Zserie=R+jXL-jXc=R+(j*wL-j*1/wC)= R+j(wL-1/wC)

 

La pulsazione di risonanza si ha quando

j(wL-1/wC)=0

da cui detta wo la pulsazione di risonanza si ha

wo=1/(LC)1/2 

e quindi il filtro RLC ha una frequenza di risonanza fo

fo=1/(2pigreco*(LC)^1/2

cioè fo è la frequenza in cui la corrente di uscita è massima; infatti, a questa frequenza, gli effetti del condensatore e dell'induttore si annullano reciprocamente e tutta la tensione d'ingresso viene passata al resistore

Imax=Vmax/R

La banda passante si ottiene con un semplice calcolo:

Bw=w2-w1

Dove le due pulsazioni di taglio si ottengono per definizione, quando il segnale di uscita si attenua di   -3dB cioè imponendo che l'ampiezza della funzione di trasferimento sia uguale a 1/radice(2).

Il valore della corrente nel circuito sarà data da

I(w)=Vi(w)/Z(w)= Vi(w)/Radice(R^2+ (XL -Xc)^2)

I(w)=Vi(w)/radice(R^2+(w*L-1/w*C)^2)

mentre la fase sarà

fase= -arctg((wL-1/wC)/R)

La corrente assumerà il valore massimo

Imax=Vmax/R

quando

w*L-1/w*C=0

questa relazione è soddisfatta alla frequenza di risonanza.

Nella condizione di risonanza il circuito si comporterà in modo puramente resistivo o ohmico e con fase uguale a zero.

Per questo motivo il circuito RLC è anche detto circuito risonante di corrente.

I(w0)=Vi / R

Esempio di circuito RLC serie di tipo passa basso

Se poniamo

R=100K Ohm

L=100mH

C=1pF

la frequenza di risonanza è circa fo=503,292KHz. Tutto ciò può anche essere visto nella simulazione con il Multisim in cui si vede che alla frequenza di risonanza la tensione di uscita sul condensatore è molto più grande di quella di ingresso e si ha una amplificazione anzichè una attenuazione come ci aspetteremo nei filtri. Qui in basso invece notiamo che, sempre con il simulatore multisim, cambiando il valore del condensatore cambia la reattanza capacitiva equindi il filtro diventa un filtro passa basso del secondo ordine, dove si notano le due frequenze di taglio fi ed fs diverse, e con attenuazione di -20dB/dec per la fi e una attenuazione ulteriore di -20 dB/dec per la fs.

Nell'ultimo grafico si ha la simulazione del filtro RLC che si comporta come un filtro passa-basso con una attenuazione di circa -40 dB in quanto  fi=fs=50KHz circa.

    Altre configurazioni del filtro RLC serie

    Il filtro RLC serie si comporta in modo diverso se preleviamo l'uscita sul condensatore oppure sulla bobina oppure sulla resistenza.

    - Se l'uscita si preleva sul condensatore è un filtro passa-basso

    -se l'uscita si preleva sulla resistenza è un filtro passa banda

    -se l'uscita si preleva sulla bobina è un filtro passa alto.

    Vediamo tutto ciò riassunto nella seguente tabella in cui oltre ai vari diagrammi di Bode sono riportati anche i diagrammi delle fasi al variare della pulsazione w.

     

    Circuito RLC parallelo

    Nel caso del circuito RLC parallelo si ha una ammettenza totale

    Yparallelo=1/Z= 1/( R+(jwL-j*1/wC))=1/(R+jwC-j/(wL))=1/(R+j(wC-1/(wL))

    Da cui la pulsazione di risonanza è sempre uguale a quella del circuito in serie cioè:

    wo=1/(LC)^1/2 

    fo=1/(2pigreco*(LC)^1/2

    Il valore della tensione di uscita Vo è data da:

    V0(w)=Ii(w)*Yparallelo= Ii(w)/(1/R+j(wC-1/(wL))

    e la

    fase = - arctg((w*C-1/w*L)(1/R))

     

    Nello schema seguente si vede che, nel filtro RLC parallelo, alla frequenza di risonanza  le due correnti sul condensatore e sull'induttanza, essendo uguali e opposte, danno come somma zero, mentre le tensioni, sono uguali a quella del generatore di segnale e il quadripolo ha attenuazione uguale a 1.

    Fattore di merito

    In entrambi i circuiti RLC la risposta in frequenza presenta un picco pronunciato in corrispondenza della frequenza di risonanza;

    1) nel caso del filtro RLC in serie introducendo il fattore di merito Q

    Q = VL/R=Vc/R=wo L/R=1/woRC 

    in quanto alla frequenza di risonanza Xc=XL. Si osserva che:

    - la larghezza del picco, diminuisce all’aumentare di Q e Q aumenta al diminuire di R

    - la larghezza di banda,quindi dipende anche dal fattore di merito Q

    B= wo/(2*pigreco*Q)=fo/Q

    e la sua formula inversa

    Q=wo/(2*pigreco*B)= wo/(w2-w1)

    2) nel caso dell’RLC parallelo il fattore di merito Q è l'inverso del fattore di merito del circuito RLC serie

    Q=R/(wo*L)

    E il discorso si inverte cioè aumentare Q significa aumentare R