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Diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode sono delle rappresentazioni grafiche della funzione  G(s).

Esistono due tipi di rappresentazione grafiche:

1) Diagramma del modulo in decibel al variare di w o della frequenza

2) Diagramma della fase al variare di w o della frequenza.

Il diagramma del modulo di G(s) in decibel cioè |G(s)| dB  e il diagramma della fase di G(s) al variare di w o della frequenza sono dei grafici in scala semilogaritmica.

Nel diagramma del modulo sulle ascisse mettiamo i logaritmi di w o della frequenza f e in ordinata il modulo della G(s) calcolato in dB cioè in decibel.

Nel diagramma della fase metttiamo sulle ascisse la frequenza o w in scala logaritmica e in ordinata i gradi o i radianti dello sfasamento.

Scala semilogaritmica

Esempi di trasformate di Laplace

G(s)= K          -->    G(s)  con K=costante reale o complessa
G(s)= s           -->   G(s)  che ha uno zero nullo per Z=0
G(s)= s+1       -->   G(s) che ha uno zero reale per Z=1
G(S)= 1/s        -->  G(s)   che ha un polo nullo per P=0
G(s)= 1/(s+1)   -->  G(s) che ha un polo reale nel punto P=1

Diagramma di Bode di una G(s) con polo reale p=1

Calcolare il diagramma di Bode di G(s) = 1/(s+1)

Dato il seguente sistema in catena aperta, che abbia una funzione di trasferimento

                                             G(s)=1/(s+1)

Calcolare il suo diagramma di Bode del modulo e della fase al variare di w.

Calcolo del modulo in decibel della G(s)= 1/(s+1)

La funzione di trasferimento è:

                                 G(s)=1/(s+1)

Calcoliamo il suo modulo in decibel.

|G(s)| dB= 20 log |G(s)|=  -20 log (1 +w^2)^ 1/2

Per rappresentare questo modulo in decibel con i diagrammi di Bode basta fare i limiti per alcuni valori di w ben precisi, ad esempio:

lim        -20 log (1 +w^2)^ 1/2 = 0

 w->0

lim        -20 log (1 +w^2)^ 1/2 =00

w->00

lim        -20 log (1 +w^2)^ 1/2 = -3 dB

w->1

lim        -20 log (1 +w^2)^ 1/2  = -20 dB

w->10

lim        -20 log (1 +w^2)^ 1/2 = 0, 04

w->0,1

Riportando il grafico di |G(s)| dB su scala semilogaritmica avremo il grafico di un filtro passa basso con il polo p=1

Calcolo della fase di G(s)=1/(s+1)

Per calcolare la fase di

                                          G(s)=1/(s+1)

ricordiamo che la fase di un numero complesso si ricava con la formula

                                       fase(G(jw))= arctg( Im/Re)

Trasformaiamo quindi la G(s) in G(jw).

Ricordando che s=jw avremo:

                                     G(jw)= 1/(1+jw)

e quindi

                                 fase(Gjw)= - w/1

 Il segno meno viene vuori dal fatto che la funzione G(s) ha la variabile s al denominatore.

 Calcoliamo quindi i limiti per ricavare il diagramma asistotico;

sono necessari solo tre punti cioè il limite per

w=polo=wp,

w=0

w=00;

possiamo anche calcolare w = 0,1Wp e w =10 wp cioè la decade precedente al polo e la decade successiva al polo.

 lim         fase G(jw)= lim     -arctg w= 0°

w-->0                          w-->0

 lim  fase G(iw) =  lim - arctg w= -90°

w-->00                   w-->00

 lim fase G(jw)= lim - arctg w= -45°

w-->1                    w-->1

 si possono anche calcolare i limiti della fase di G(jw) nella decade precedente al polo cioè per w=0,1 e per la decade successiva al polo per w=10.

Riportando questi valori nel grafico semilogaritmico in cui in ascisse mettiamo w e in ordinate la sua gase in gradi avremo il diagramma di Bode della fase.

G(s) del filtro passa basso RC

Esercizio:

Calcolare la G(s) di un filtro RC e disegnare il suo diagramma del modulo e della fase.

Nel filtro RC  si ha una

G(s)= Vu(s)/Vi(s)= (1/Cs)/ ( R+ 1/Cs)= 1/(1+ RC*s)  -->

G(S)= 1/(1+RCs)

essendo il polo p della G(s)

p= 1/RC=w

w=2*3.14*f =1 /RC  -->

la frequenza di taglio del filtro passa basso è

f =1/( 2*3.14 * RC  ) =1/RC

Di solito la costante RC viene chiamata tau (lettere greca) ed ha la dimensione del tempo misurato in seconti cioè

tau= RC=[s]             

se il filtro è di tipo RC e

1/RC=[Hz]

Facendo tutti i  i limiti della funzione |G(s)|dB , come nell'esercizio precedente), si dimostra che , nel polo p= 1/RC e quindi anche nella frequenza di taglio si ha una attenuazione di - 3dB pari ad una diminuzione del 30% dell'amplificazione  ( vedi grafico del diagramma di Bode del modulo in dB).

Il filtro RC e' quindi di tipo passa basso in quanto per pulsazioni inferiori alla pulsazione di taglio si ha |G(s)|dB uguale a zero, dopo la pulsazione di taglio ( o frequenza di taglio), si ha una attenuazione di -20dB/dec, mentre nel polo ( o nella frequenza di taglio) si ha una attenuazione di -3dB ( o del 30%).