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Metodo di Cramer

Sistema lineare determinato

Un sistema lineare si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni. In particolare si può dimostrare che un sistema lineare ha una sola soluzione.

Esempio: dato il seguente sistema lineare con due equazioni a due incognite:

x+5y=3

2x-4y=-8

questo sistema con il metodo di sostituzione dà la seguente soluzione:

(x,y)=(-2,1)

cioè il sistema è determinato ed ammette la soluzione x=-2 e y=1

(x,y)=(-2,1)

 

Per risolvere questo sistema lineare si può utilizzare il metodo di Cramer, che consiste nel trovare

1) Il determinante delta del sistema, prendendo solo i coefficienti

1           5

2          -4

Per Calcolare il determinante delta del sistema si moltiplicano i numeri della diagonale principla 1*(-4) e si sottraggono i prodotti della diagonale secondaria cioè 2*5 ottenendo

delta = 1*(-4)-(2*5)=-4-10=-14

delta=-14

2) Poi si calcola il determinante deltax ottenuto dal sistema precedente semplicemente scambiando la colonna della x con la colonna dei termini noti, ottenendo la seguente matrice

3       5

-8      -4

da cui, calcolando il determinante deltax otteniamo;

deltax= 3*(-4)-(-8*5)= -12-(-40)=28

deltax=28

3) Si calcola il determinante deltay ottenuto dal sistema iniziale scambiando la colonna delle y con la colonna dei termini noti, ottenendo la seguente matrice

1      3

2     -8

da cui calcolando il deltay otteniamo

deltay=1*(-8)-(2*3)=-8-6=-14

deltay=-14

4) La regola di Cramere afferma che le soluzioni x e y si ottengono dividendo rispettivamente il deltax/delta e il deltay/delta cioè

x=deltax/delta

y=deltay/delta

Nel sistema precedente quindi, sostituendo i valori trovati otteniamo:

x=deltax/delta=28/(-14)=-2

y=deltay/delta=-14/(-14)=1

cioè le soluzioni del sistema dato sono

(x,y)=(-2,1)

Abbiamo naturalmente ottenuto le stesse soluzioni che avevamo ottenuto con il metodo di sostituzione.

Sistema lineare impossibile

Un sistema lineare si dice impossibile quando non ammette nessuna soluzione.

esempio:

supponiamo di avere il seguente sistema con due equazioni e a due incognite:

2x-3y=1

2x-3y=7

Se risolviamo questo sistema con il metodo di sostituzione troviamo

x=(1+3y)/2

0*y=6

La seconda equazione ci dice che non esiste alcun numero y che moltiplicato per zero dia il numero 6; quindi il sistema è impossibile in qunto non ammette nessuna soluzione. 

Se però osserviamo il sistema vediamo che la seconda equazione è uguale alla prima equazione a meno del termine noto. Cioè differiscono solo per il termine noto;

cioè

a/a'=b/b' ma è diverso da c/c'

da questo segue che

ab'-a'b=0

mentre

bc'-b'c diverso da zero

cioè la matrice

2      -3

2      -3

ha il delta=0

delta=2*(-3)-(2*(-3))=0                                   delta è uguale a zero

inoltre il suo deltax

1      -3

7     -3

deltax =1*(-3)-(7*(-3))=-3+21=18                  deltax  è diverso da zero

il suo deltay

2        1

2        7

deltay =2*7-2*1=14-2=12                          deltay  è diverso da zero

le soluzioni del sistema

x=deltax/delta=18/0          -->soluzione mpossibile

y=deltay/delta=12/0         -->soluzione impossibile

Non esiste alcun numero moltiplicato zere dà un numero diverso da zero.

Cioè il sistema dato ha delta uguale a zero ma deltax e deltay diverso da zero quindi non ha alcuna soluzione, cioè il sistema è impossibile.